অন্বয় ও ফাংশন

সাধারণ ধারণা :

• অন্বয় : A ও B সেট হলে A×B এর কোন অশূণ্য উপসেটকে A থেকে B তে একটি অন্বয় বলা হয় । অর্থাৎ যদি S, A থেকে B তে একটি অন্বয় হয় তবে,

S = {(x,y) ∣  x ∈ A, y ∈ B}

আবার, A×A এর কোন অশূণ্য উপসেটকে A সেটে একটি অন্বয় বলে ।

• অন্বয়ের ডোমেন (Domain) এবং রেঞ্জ (Range) : S এ অন্তর্ভুক্ত ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানসমূহের সেটকে S এর ডোমেন এবং দ্বিতীয় উপাদানসমূহের সেটকে S এর রেঞ্জ বলা হয় । S এর ডোমেনকে ডোম S এবং রেঞ্জকে রেঞ্জ S লিখে প্রকাশ করা হয় । অর্থাৎ,

ডোম S = {x ∣ x ∈ A, (x,y) ∈ S}

রেঞ্জ S = {y ∣ y ∈ B, (x,y) ∈ S}

• বিপরীত অন্বয় : S যদি A থেকে B সেটে কোন অন্বয় হয় তবে S এর বিপরীত অন্বয় হচ্ছে B থেকে A সেটে একটি অন্বয় যাকে S^-1 দ্বারা প্রকাশ করা হয় । অর্থাৎ,

S^-1 = {(y,x) ∣ y ∈ B, x ∈ A}

= {(y,x) ∣ (x,y) ∈ S}

• ফাংশন (Function) : ফাংশন হল বিশেষ ধরনের অন্বয় । যদি কোন অন্বয়ে একই প্রথম উপাদানবিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় না থাকে, তবে ঐ অন্বয়কে ফাংশন বলে । অর্থাৎ, A ও B সেট হলে A থেকে B সেটে ফাংশন F হচ্ছে A×B এর এমন একটি উপসেট যেন-

1. প্রতি a ∈ A এর জন্য একটি উপাদান b ∈ B থাকে যেখানে (a,b) ∈ F
2. যদি (a,b) ∈ F হয় এবং (a,b′) ∈ F হয় তবে অবশ্যই b = b′ হবে ।

F, A থেকে B সেটে ফাংশন হলে তাকে F : A→B লিখে প্রকাশ করা হয় । (x,y) ∈ F হলে, y কে F এর অধীনে x এর ছবি (Image) বলা হয় এবং y = F(x) লেখা হয় ।

• ফাংশনের ডোমেন, রেঞ্জ ও কো-ডোমেন (Co-doamin) : F : A→B এর ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানসমূহের সেটকে F এর ডোমেন বলে যাকে ডোম F লিখে প্রকাশ করা হয় । অন্য কথায়, A কে F এর ডোমেন বলে।

ডোম F = {x ∣ x ∈ A}

F এর ক্রমজোড়গুলোর দ্বিতীয় উপাদানসমূহের সেটকে F এর রেঞ্জ বলে যাকে রেঞ্জ F লিখে প্রকাশ করা হয়। অন্য কথায়, B এর যেসব উপাদান A এর উপাদানসমূহের ছবি হিসেবে পাওয়া যায় তাদের সেট হল রেঞ্জ F ।

রেঞ্জ F = {y ∣ y ∈ B, (x,y) ∈ F}

B এর সকল উপাদানসমূহের সেটকে F এর কো-ডোমেন বলে ।

রেঞ্জ ⊆ কো-ডোমেন

• ফাংশনের প্রকারভেদ :

1. এক-এক ফাংশন (One-to-one function) : যদি কোন ফাংশনের অধীনে তার ডোমেনের ভিন্ন ভিন্ন সদস্যের ছবি সর্বদা ভিন্ন হয় তবে ফাংশনটিকে এক-এক ফাংশন বলা হয় । অর্থাৎ, f : A→B কে এক-এক ফাংশন বলা হয় । যদি ডোম f এর সব সদস্য x₁, x₂ এর জন্য f(x₁) ≠ f(x₂) যখন x₁ ≠ x₂ । অথবা, সব x₁, x₂ এর জন্য f(x₁) = f(x₂)হলে x₁ = x₂ হয় । অর্থাৎ, ডোম f এর একটি সদস্য কো-ডোমেন সেটের শুধুমাত্র একটি সদস্যের সঙ্গে সম্পর্কিত হলে, f একটি এক-এক ফাংশন ।
2. সর্বগ্রাহী/ সার্বিক ফাংশন (Onto/surfective function) : f : A→B কোন ফাংশনের B সেটের সমস্ত উপাদানই যদি A সেটের উপাদানসমূহের ছবি হিসেবে পাওয়া যায় তবে ঐ ফাংশনটিকে সার্বিক ফাংশন বলে । সাধারণত f এর রেঞ্জ f(A), B সেটের একটি উপসেট হয় অর্থাৎ f(A) ⊂ B হয়; কিন্তু যখন f(A) = B হয় অর্থাৎ, রেঞ্জ = কো-ডোমেন হয় f(A) কে সার্বিক ফাংশন বলা হয় ।
3. প্রতিষঙ্গ ফাংশন (Bijective function) : কোন ফাংশন এক-এক এবং সার্বিক হলে তাকে প্রতিষঙ্গ ফাংশন বলে ।
4. বিপরীত ফাংশন (Inverse function) : শুধুমাত্র প্রতিষঙ্গ ফাংশনের বিপরীত ফাংশন থাকে । f : A→B কোন প্রতিষঙ্গ ফাংশন হলে f^-1 দ্বারা এর বিপরীত ফাংশন প্রকাশ করা হয় যেখানে f^-1 : B→A
5. সংযোজিত ফাংশন (Composite functin) : f : A→B এবং g : B→C দুটি ফাংশন হলে, এদের দু’ধরনের সংযোজিত ফাংশন পাওয়া যাবে-

1. gof : A→C যেখানে, gof বা (gof)(x) = g(f(x))
2. fog : C→A যেখানে, fog বা (fog)(x) = f(g(x))

6. অভেদ/অভেদক ফাংশন (Indentity function) : যদি কোন ফাংশন কোন সেটের উপাদানকে একই সেটের ঐ উপাদানের সাথেই সম্পর্কিত করে তবে ফাংশনটিকে অভেদ ফাংশন বলে । অর্থাৎ, A কোন সেট হলে F : A→A একটি অভেদ ফাংশন । দ্রষ্টব্য, অভেদ ফাংশন সব সময়ই এক-এক ফাংশন ।
7. ধ্রুব/ধ্রুবক ফাংশন (Constant function) : যদি কোন ফাংশন f এর অধীনে A সেটের প্রত্যেকটি উপাদানের ছবি B সেটের কেবল একটি উপাদান হয় তবে f কে ধ্রুব ফাংশন বলে । অর্থাৎ, f : A→B তে সব x এর জন্য যেখানে । দ্রষ্টব্য, প্রত্যেক ধ্রুব ফাংশনের রেঞ্জ এক সদস্যবিশিষ্ট একটি সেট ।
8. অযুগ্ম ফাংশন (Odd function) : f(-x)=-f(x) হলে f কে অযুগ্ম ফাংশন বলে ।
9. যুগ্ম ফাংশন (Even funciton) : f(-x)= f(x) হলে f কে যুগ্ম ফাংশন বলে ।

• বিভিন্ন ধরনের অন্বয়ের ম্যাপ :

• graph থেকে ফাংশন নির্ণয় : কোন অন্বয়ের লেখচিত্রে (graph) y অক্ষের সমান্তরালে অঙ্কিত সকল সরলরেখা যদি চিত্রকে শুধুমাত্র একটি করে বিন্দুতে ছেদ করে তবে সেই অন্বয়টি ফাংশন ।

ফাংশন

ফাংশন নয়

• graph থেকে এক-এক ফাংশন নির্ণয় : কোন ফাংশনের লেখচিত্রে x অক্ষের সমান্তরালে অঙ্কিত সকল সরলরেখা যদি চিত্রকে শুধুমাত্র একটি করে বিন্দুতে ছেদ করে তবে সেই ফাংশনটি এক-এক ।

এক-এক নয়

এক-এক

• Exponential ফাংশন এর ডোমেন ও রেঞ্জ : f(x) = a^x আকারের ফাংশনকে exponential ফাংশন বলে যেখানে, a>0 এবং a≠1 । এক্ষেত্রে,

ডোম f = R

রেঞ্জ f = [0,α]

• Logarithmic ফাংশন এর ডোমেন ও রেঞ্জ : y=f(x)=log_ax আকারের ফাংশনকে logarithmic ফাংশন বলে যেখানে, a>0 এবং a≠1 । দ্রষ্টব্য, y = log_ax হয় যদি ও কেবল যদি x = a^y হয় । এক্ষেত্রে,

ডোম f = {x ∣ x>0}

রেঞ্জ f = R

• Trigonometric ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ :

• f(x) = sinx হলে ডোম f = R ; রেঞ্জ f = [-1,1]
• f(x) = cosx হলে ডোম f = R ; রেঞ্জ f = [-1,1]
• f(x) = tanx হলে ডোম f = R -{±(2n-1)(π/2) ∣ x ∈ N} ; রেঞ্জ f = R
• f(x) = secx হলে ডোম f = R -{±(2n-1)(π/2) ∣ x ∈ N} ; রেঞ্জ f = (-α,-1]⋃[1,α)
• f(x) = cotx হলে ডোম f = R -{±(n-1)π ∣ n ∈ N} ; রেঞ্জ f = R
• f(x) = cosecx হলে ডোম f = R -{±(n-1)π ∣ n ∈ N} ; রেঞ্জ f = (-α,-1]⋃[1,α)

গানিতিক উদাহরণ ও সমাধান :

1. f : N→N নিচের কোন ফাংশনগুলো এক-এক, সার্বিক অথবা উভয়ই তা নির্ণয় কর-

a. f(x) = 3

b. f(x) = x+1

c. f(x) = x²+1

d. f(x) = x³

 

a. f(x₁)=f(x₂) হলে যদি x₁=x₂ হয় তবে f এক-এক ফাংশন ।

এখন, f(1) = 3; f(2) = 3 কিন্তু 1≠2

∴ f এক-এক নয় ।

আবার, f : N→N । ∴ f এর ডোমেন N এবং কো-ডোমেন N । কোন ফাংশনের রেঞ্জ = কো-ডোমেন ফলে ফাংশনটি সার্বিক । এক্ষেত্রে, সকল x ∈ N এর জন্য f(x) = 3 । ∴ রেঞ্জ ≠ কো-ডোমেন ।

∴ f সার্বিক নয় ।

 

b. এখানে, f(x₁) = x₁+1 এবং f(x₂) = x₂+1 । যদি f(x₁) = f(x₂) হয় তবে,

x₁+1 = x₂+1 ⇒ x₁=x₂

∴ f এক-এক ।

ধরি, x₁ ∈ ডোম f যেন f(x₁) = 1 ।

∴ x₁+1 = 1  ⇒ x₁ = 0 কিন্তু 0 ∈ N ।

∴ f সার্বিক নয় ।

 

c. এখানে, f(x₁) = x₁²+1 ও f(x₂) = x₂²+1 । যদি f(x₁) = f(x₂) হয় তবে

x₁²+1 = x₂²+1 ⇒ x₁² = x₂²  ⇒ x₁ = ±x²

∴ f এক-এক নয় ।

আবার, ধরি x ∈ ডোম f যেন, f(x)=1

∴ x²+1 = 1  ⇒ x = 0 কিন্তু 0 ∈ N

∴ f সার্বিক নয় ।

 

d. এখানে, f(x₁) = x₁³ ও f(x₂) = x₂³ যদি হয় তবে,

x₁³ = x₁³  ⇒ x₁ = x₂

∴ f এক-এক

ধরি, x ∈ ডোম f যেন, f(x) = 0

∴ x₁³ = 0  ⇒ x₁ = 0 কিন্তু 0 ∈ N

∴ f সার্বিক নয় ।

 

2. নিচের ফাংশনগুলোর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর ।

a. f(x) = (2x-3)/(x-2)

b. f(x) = (x²-1)/(x-1)

c. f(x) = √(x+4)

d. f(x) = √(x²-4)

e. f(x) = √(16-x²)

f. f(x) = 2 sinx

g. f(x) = 1/x

h. f(x) = x/(∣x∣)

i. f(x) = x/(x²-1)

j. f(x) = log₁₀(x²-36)

 

a. x এর যেসকল মানের জন্য f(x)এর বাস্তব মান পাওয়া যায় x এর সেসকল মানই ডোম fএর সদস্য ।x=2 হলে,

f(x) = (2x-3)/(x-2) = (2×2-3)/(2-2) = 1/0 = অসংজ্ঞায়িত ।

∴ ডোম f = R-{2}

মনে করি, y = (2x-3)/(x-2)

⇒ xy-2y = 2y-3

⇒ xy-2x = 2y-3

⇒ x(y-2) = 2y-3

⇒ x = (2y-3)/(y-2)

y=2 হলে, x = (2(2)-3) / (2-2) অসংজ্ঞায়িত ।

∴ রেঞ্জ f = R-{2}

Short-cut : f(x) = (ax+b)/(cx+d) আকৃতির ফাংশনের ক্ষেত্রে রেঞ্জ f = R-{a/c}

 

b. x=1 এর জন্য f(x) অসংজ্ঞায়িত ।

∴ ডোম f = R-{1}

মনে করি, y = (x²-1)/(x-1) = {(x+1)(x-1)}/(x-1) = x+1

⇒ y = x+1

⇒ x = y-1

এখন, y=2 হলে, x = y-1 = 2-1 = 1 কিন্তু 1 ∉ ডোম f । ∴ ∉ রেঞ্জ f ।

∴ রেঞ্জ f = R-{2}

 

c. f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে যদি x+4≥0 হয় ।

⇒ x≥-4 হয় ।

∴ ডোম f = [0,α)

সকল, x≥-4 এর জন্য f(x)≥0                     [কোন সংখ্যার বর্গমূল ঋণাত্মক হতে পারে না । লক্ষণীয়, √25=5 কিন্তু x²=25 হলে x = ±√(25) = ±5]

∴ রেঞ্জ f = [0,α)

 

d. f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে যদি x²-4≥0 হয় ।

⇒ (x+2)(x-2)≥0 …(i)

ব্যবধি                (x+2) এর চিহ্ন                (x-2) এর চিহ্ন                 (x+2)(x-2)এর চিহ্ন

x≤-2                             –                                               –                                               +

-2<x<2             +                                              –                                               –

x≥2                              +                                              +                                              +

(i) সত্য হবে যদি x<-2 অথবা x>2 হয় ।     [see ex. II example 5 for details]

∴ ডোম f = {x ∣ x<-2 অথবা x>2}

= (-α,-2]u[2,α)

সকল x ∈ ডোম f এর জন্য f(x) ≥ 0

∴ রেঞ্জ f = [0,α)                         [দ্রষ্টব্য, f(x) = √(a-x²) আকার ব্যতীত সকল square root ফাংশনের রেঞ্জ [0,α) ]

Short-cut :

i. x²-a≥0 ⇒ x²≥a আকারের অসমতার সমাধান : x≤-√a অথবা x ≥ √a

ii. x²-a≤0 ⇒ x²≤a আকারের অসমতার সমাধান : -√a≤x≤√a

 

e. f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে যদি 16-x²≥0 হয় ।

⇒ x²≤16

⇒ -4≤x≤4         [see example 2(d) short-cut ii.]

∴ ডোম f = [-4,4]

সকল ∈ ডোম f এর জন্য 0≤f(x)≤4

∴ রেঞ্জ f = [0,4] [দ্রষ্টব্য, f(x) = √(a-x²) আকারের সকল square root ফাংশনের রেঞ্জ : [0,√a] ]

 

f. সকল এর জন্য f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যায় ।

∴ ডোম f = R     [সকল f(x) = sinx এর ডোমেন : R ]

সকল x ∈ ডোম f এর জন্য -2≤f(x)≤2

∴ রেঞ্জ f = [-2,2]                        [সকল f(x) = sinx এর রেঞ্জ [-1,1] । এক্ষেত্রে, f(x) = 2sinx হওয়ায় রেঞ্জ [-2,2] ]

 

g. f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যায় যদি x≠0 হয় । [x=0 হলে f(x) = 1/x = 1/0 = অসংজ্ঞায়িত]

∴ ডোম f = R-{0}

মনে করি, y = f(x) = 1/x  ⇒ x = 1/y । y=0 হলে x অসংজ্ঞায়িত ।

∴ রেঞ্জ f = R-{0}

 

h. f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যায় যদি IxI≠0 হয় ।

⇒ x ≠ 0হয় ।

∴ ডোম f = R-{0}

x>0 এর জন্য f(x) = x/(∣x∣) = x/x = 1

x<0 এর জন্য f(x) = x/(∣x∣) = x/-x = -1

∴ সকল x ∈ ডোম f এর জন্য f(x) = 1 অথবা -1

∴ রেঞ্জ f = {-1,1}

 

i. f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যায় যদি x²-1 ≠ 0 হয়

⇒ x² ≠ 1

⇒ x ≠ ±1 হয় ।

∴ ডোম f = R-{-1,1}

মনে করি, y = f(x) = x/(x²-1)

⇒ x²-1 = x/y

⇒ (x²-1)/x = 1/y

এখন, y=0 হলে, (x²-1)/x = অসংজ্ঞায়িত

⇒ x = অসংজ্ঞায়িত ।

কিন্তু, ডোম f ⊂ R । ∴ 0 ∈ রেঞ্জ ।

∴ রেঞ্জ f = R-{0}

 

j.  f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যায় যদি x²-36>0 হয় ।

⇒ x²>36

⇒ x<-6 অথবা x>6 হয় ।

∴ ডোম f = [-α,-6)⋃[6,α)

∴ রেঞ্জ f = R [সকল Logrithmic ফাংশন এর রেঞ্জ R]

 

3. f : R→R ফাংশনটি f(x) =  দ্বারা প্রকাশিত । f(2), f(6), f(0) নির্ণয় কর ।

f(2) = 2²-3(2) [কেননা x≥2 হলে f(x)=x²-3x]

= -2

f(6) = 6²-3(6)  = 18

f(0) = 0+2 [কেননা x<2 হলে f(x)=x+2]

= 2

 

4. f(x) = x²+3x+1; g(x) = 2x-3 হলে-

a. (fog)(x)

b. (gof)(x)

c. (fof)(x)

d. (fog)(2) নির্ণয় কর ।

 

a. (fog)(x) = f(g(x)) = f(2x-3) = (2x-3)²+3(2x-3)+1  = 4x²-6x+1

b. (gof)(x) = g(f(x)) = g(x²+3x+1) = 2(x²+3x+1)-3  = 2x²+6x-1

c. (fof)(x) = f(f(x)) = f(x²+3x+1) = (x²+3x+1)²+3(x²+3x+1)+1

= x⁴+6x³+14x²+15x+5

d. (fog)(x) = 4x²-6x+1

(fog)(2) = 4(2)²-6(2)+1  = 5

 

5. f : R→R কোন ফাংশন হলে f^-1(x) নির্ণয় কর যেখানে-

a. f(x) = 2x+3

b. f(x) = (2+3x)/(3-2x)

 

a. ধরি, y = f(x)  = 2x+3             [∵ y=f(x)  ⇒  x=f^-1(y)]

⇒  2x = y-3

⇒  x = (y-3)/2

⇒  f^-1(y) = (y-3)/2

∴  f^-1(x) = (x-3)/2

Short-cut : f(x) = ax+b হলে f^-1(x) = (x-b)/a

b. ধরি, y = f(x)  = (2x+3)/(3-2x)                       [∵  y=f(x)  ⇒  x=f^-1(y)]

⇒  3y-2xy = 2+3x

⇒  3x-2xy = 2-3y

⇒  x(3-2y) = 2-3y

⇒  x = (2-3y)/(3-2y)

⇒  f^-1(y) = (2-3y)/(3-2y)

∴  f^-1(y) = (2-3y)/(3-2y)

Short-cut : f(x) = (ax+b)/(cx+d) হলে f^-1(x) = (-dx+b)/(cx-a)

 

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন ও সমাধান :

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন :

1. যদি f(x) = x²+3 এবং g(x) = √x হয় তাহলে f(g(x)) = ?  [DU : 2001-02]

a. 2x+3, x<0

b. x²+1

c. 2+3x

d. x+3, x≥0

 

2. যদি A = {1,2,3}, B = {4,5,6} এবং R = {(1,4),(2,5),(3,6)} হয় তবে কোনটি সত্য উক্তি?               [DU : 2004-05]

a. R একটি ফাংশন যার ডোমেন A

b. R একটি ফাংশন যার রেঞ্জ B

c. R একটি এক-এক ফাংশন

d. R একটি সার্বিক ফাংশন

 

3. যদি f(x) = x²-2∣x∣ এবং g(x) = x²+1 হয় তবে g(f(x)) এর মান-                [DU : 2006-07]

a. 0

b. 65

c. 5

d. 1

 

4. f(x) = (3+x)/(1-2x) হলে, f^-1(x) = ?                             [DU : 2006-07]

a. (x-3)/(2x+1)

b. (3-x)/(1+2x)

c. (x+3)/(2+x)

d. (x+3)/(2x+1)

 

5. f(x) = x²+4 এবং g(x) = 2x-1 হলে g(f(x)) হয়-             [DU : 2007-08]

a. 2x²+7

b. 7x²+2

c. x²+2x-1

d. x²-2x+3

 

6. f(x) = (x-3)/(2x+1) এবং x ≠ -1/2 হলে f^-1(-2) এর মান-                         [DU : 2008-09]

a. 5/3

b. -5/3

c. 1/5

d. 2/5

 

7. f(x) = sinx; g(x) = x² হলে f(g(√π/2)) এর মান-                        [DU : 2009-10]

a. √2/2

b. √3/2

c. 1/2

d. 1

 

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধান :

 

1. f(g(x)) = f(√x) = x+3                        [see example 4 for details]

∴ ans. d

 

2. স্পষ্টত, R = {(x,y) ∣ x ∈ A, y ∈ B} = A×B । ∴ R, A থেকে B তে একটি অন্বয় ।

∵ R এ একই প্রথম উপাদানবিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই ফাংশন ।

R এর ডোমেন = ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানসমূহের সেট = {1,2,3} = A

R এর রেঞ্জ = ক্রমজোড়গুলোর দ্বিতীয় উপাদানসমূহের সেট = {4,5,6} = B

R এর রেঞ্জ = B = কো-ডোমেন । ∴ R সার্বিক ফাংশন ।

∵ রেঞ্জের প্রতিটি উপাদান ডোমেনের শুধুমাত্র একটি উপাদানের ছবি হিসেবে পাওয়া যায় । ∴ R একটি এক-এক ফাংশন ।

∴ ans. সবগুলো

 

3. f(-2) = (-2)²-2∣-2∣ = 4-4 = 0

∴ g (f(-2)) = g(0) = (0)²+1 = 1

∴ ans. d

 

4. ধরি, y = (3+x)/(1-2x)  ⇒ y-2xy = 3+x

⇒ x+2xy = y-3             [see example 5(b) for details]

∴ f^-1(x) = (x-3)/(1+2x) = (x-3)/(2x+1)

∴ ans. b

 

5. g(f(x)) = g(x²+4) = 2(x²+4)-1 = 2x²+7

∴ ans. a

 

6. ধরি, y = (x-3)/(2x+1)  ⇒  2xy+y = x-3

⇒ x-2xy = 3+y

⇒ x = (3+y)/(1-2y)

∴  f^-1(x) = (3+x)/(1-2x)             [see example 5(b) for details]

∴  f^-1(x) = (3-2)/(1-2(-2)) = 1/5

∴  ans. b

 

7. g(√π/2) = π/4

∴ f(g(√π/2) = f(π/4) = sin(π/4) = sin 45 = 1/√2

= √2/(√2.√2)

= √2/2

∴ ans. a

Name(required)

Email(required)

Website

Message

Submit

Δ